纯粹数学:哈代的世外桃源

作者:胡作玄

哈代(Hardy)这个姓在英国并非罕见。当然,最享盛名的当推19、20世纪之交的大作家、大诗人托马斯•哈代(Thomas Hardy,1840---1928),而其次就该算20世纪的大数学家哥德弗莱•哈罗德•哈代(Godfrey Harold Hardy,1877---1947)了。

一 哈代其人

数学家不是那种显山露水的人,因此,数学家的名字不大为人所知,数学家的工作更不是媒体和大众谈论的话题。不过,中国是个例外。谁不知道华罗庚和陈景润呢?谁不知道他们研究的解析数论和哥德巴赫猜想呢?好了,我可以把他们和哈代挂起钩来。虽然,我们不能很严格地讲,华罗庚是陈景润的老师,哈代是华罗庚的老师,可是说哈代是华罗庚的老师辈的人总没什么大错。一句话,在解析数论和哥德巴赫猜想方面,哈代是位祖师爷。所谓中国的解析数论学派,传的就是哈代的衣钵。更具体讲,20世纪30年代,华罗庚到剑桥访问,东道主就是哈代。虽然华罗庚的论文足以使他拿下博士学位,但华罗庚的确热爱数学,不重视学位这类虚名。这倒符合哈代的胃口,不过因此哈代也就无法成为华罗庚的博士导师。更有意思的事,哈代发现亚洲另外一位数学奇才——拉马努金(S.A.Ramanujan, 1887---1920)。他的数学知识也是靠自学,根本不懂什么是证明,也不懂近代数学的严格性意味着什么。要不是哈代,他这一辈子也就完了。20世纪末,斯普林格出版了他五大卷笔记供后人研究。他成了印度的骄傲,尼赫鲁在《印度的发现》[尼赫鲁,1956]中还特别讲到了他的工作。1940年,哈代的书《拉马努金》[Hardy, 1940b]出版, 副标题是“关于其生平和工作的12次演讲”,这对传播拉马努金的数学做出了决定性的贡献。

同年,在第二次世界大战的战火中,哈代的《一个数学家的自辩》[Hardy, 1940a]出版了。说老实话,这本书,更正确地说是本小册子,实在不合时宜。为什么?因为哈代的主张就是,数学家应该躲进纯粹数学的象牙之塔,在纯粹数学的世外桃源中优游。他特别攻击了应用数学,认为“真正的数学对战争毫无影响”,枪炮专家与飞机设计师所需要的数学是“微不足道的”[Hardy, 1985, XXVIII]。他用的词是Trivial,意思是平凡的、无聊的、小儿科的,总之是不登大雅之堂的。严格讲,哈代有点循环论证:纯粹数 学没有用,有用的不是纯粹数学。

如果哈代是怀特海(A.N.Whitehead,1861---1947)所说的“数学狂”,也就是“爱好数学和欣赏数学”达到偏执狂程度的怪人,那也不要紧,他还偏偏对实际政治颇感兴趣,并对自己的主张身体力行。在二次大战打得不可开交的时候,他编了《罗素与三一学院》[Hardy,1942]一书,于1942年出版。众所周知,罗素(B. Russell, 1872-1970)是位和平主义者,在第一次世界大战中从事反战活动并因此坐过牢。罗素可以说是哈代的老师和朋友,哈代不仅信奉罗素的数理逻辑,也同情他的政治思想,特别是他的反战态度。1916年哈代所在的剑桥三一学院因罗素的反战态度取消了他的讲师资格。哈代、李特伍德(J.E.Littlewood,1885---1977)等22人联名反对没有成功,结果罗素1919年出狱后讲师资格也没有恢复。这种情况令哈代感到气愤,因此,1920年他离开了剑桥,到牛津大学当教授去了,直到1931年才回到剑桥。在1942年把这段陈年老账翻出来,只能说他表了一个态——憎恶战争,逃避一切世俗事务,惟与纯粹数学相伴。

但是,历史并不以个人意志为转移。二次大战期间,科学开始起着前所未有的作用,其中最为惊人的是原子弹。原子弹不仅仅是物理学的产物,没有数学和数学家,原子弹还是造不出来。战后,主要是物理学家,开始反思科学的社会功能以及科学家的社会责任。不过,数学家很少参与其中。至于哈代,晚年疾病缠身,由他妹妹照顾,一度还想自杀,也许是对板球的兴趣最终阻止了他。1947年12月,哈代离开人世,享年70岁。他身后的世界与他生前的世界大不一样,然而,数学也许还能如他所说,保留不朽的价值。

二 两类数学:有用的与无用的

哈代把自己的书题名为《一个数学家的自辩》。自辩的原文是Apology,较难翻译。这个词起源很早,柏拉图对话中就有《申辩篇》,其中苏格拉底论述自己的道德观念,来回答起诉人对他的控告,明显地包含有自我辩护的成分。其后,基督教著述家为驳斥对基督教的指责,也起而为自己的信仰进行辩护。哈代这里用这个词,则是为纯粹数学和自己这样的纯粹数学家来辩解,同以前的论辩一样,一方面包括自我主张的申诉,另一方面有自己的对立面。他的对立面主要有两个:一个是“大众数学”,一个是应用数学。他自己为之辩护的,则是高雅数学和纯粹数学。对于两者的区分,他有一个特有的标准,那就是“无用”。

哈代对有用的数学讲得十分清楚:“中小学里大部分数学都是有用的,例如算术、初等代数、初等欧氏几何、初等微积分。……大学数学中相当一部分也是有用的。”[Hardy, 1985, XXVI]他接着说,如果有用的知识就是目前和不久将来可能有助于改进人类物质生活的知识,而不管在学术上令人满意与否,那么绝大部分高等数学都是无用的了。这里所谓高等数学是当时的比大学更高级的数学,包括近世代数、近世几何、集合论、函数论、数论,甚至还包括相对论和量子力学。由于他受当时水平限制,认为相对论和量子力学几乎像数论一样“无用”。虽然他认为某些“阳春白雪”式的纯粹数学会出人意料地变得“有用”,但他得出结论说,“任何一门学科与实际生活相联系的往往是其中平凡和乏味的部分。”[Hardy, 1985,XXV]

显然,这个结论比较保守。不仅他当时认为没有用的数学在他去世半个世纪之后都变得有着不同程度的用处,而且连哈代想象不到的最新数学前沿也有这样那样的用处。更重要的是,许多前沿数学,不仅有着重要应用,而且有着哈代所喜欢的美学价值,如拓扑学、代数几何学、代数数论、李群和李代数等等学科分支。哈代钟爱的数论,如素数的理论,是编码与密码学的重要工具。在哈代生前爆炸的原子弹,也不能说完全与相对论无关,更不能说和量子力学无关了。

难道说,哈代的结论完全错了吗?也对也不对。哈代过低估计了具有抽象性、普遍性的数学的不可思议的有用性和有效性。但是,哈代却清楚地认识到,纯粹数学正在走向更大的抽象性与普遍性的不可逆转的道路上。在这个道路上,不是有没有用的实用观点指导纯粹数学的发展,而是美学与艺术决定数学家的努力方向。美是数学的判定标准和指导原则。谈到美学原则,有的数学家也谈了不少,这里面的确有品位的高下之分。哈代究竟是个大数学家,他知道什么样的数学是高雅的,什么样的数学是低俗的。他的确为我们举出了榜样,例如费马(P. de Fermat, 1601-1665)、欧拉(L. Euler,1707-1783)、高斯(J. C. F. Gauss, 1777-1855)、阿贝尔(N. H. Abel, 1802-1829)、黎曼(G. F. B. Riemann,1826-1866)、庞加莱(J. H. Poincare, 1854-1912)等,其实我们现在仍然在享用他们的遗产。这个名单还应该加上刚刚结束的20世纪的最伟大的数学家:希尔伯特(D. Hilbert,1862-1943)、外尔(H. Weyl,1885-1955)、嘉当(É. J. Cartan,1869-1951)、冯•诺伊曼(J. von Neumann, 1903-1957)、柯尔莫哥洛夫(A. N. Kolmogorov, 1903-1987)、维纳(N. Wienner,1894-1964)等等。他们无一例外都是最伟大的纯粹数学家,同时又是杰出的应用数学家。在数学走向越来越专门、学科之间隔行如隔山的时代,正是他们开辟了全新的方向。他们超越了纯粹数学的美学标准,又超越了应用数学的实用标准,由于他们的超越,却出人意料地达到了纯粹数学与应用数学完美结合的最高境界,而这恐怕是哈代始料未及的。

三 现实世界中的数学

数学家和数学家还是不一样的,他们也分三六九等。每个人都可以说自己是一流数学家,有的互相吹捧,有的互相拆台。对于外行甚至隔行人来说,真可以说是一头雾水。有没有比较客观的标准,有没有内在的尺度来衡量数学家的成就呢?哈代认为是有的,这就是历史标准。他说:“总的说来,科学史是公平的,数学史尤其如此。没有一门学科像数学这样具有清晰一致的评判标准,那些被铭记的人几乎都是值得纪念的人。”[Hardy, 1985, VIII]不过,他的这个标准还不够现实和具体。当人们在考虑如何发展数学,选定发展方向时当然不能等100年以后,而是要很快做决定,这时就需要积累和体制健全。天才并不缺少,缺少的是使天才茁壮成长的肥沃的土壤。在极端贫瘠的土壤中,什么也长不出来;而在肥沃的土壤中,只要条件成熟,自会鲜花盛开。当然还有更差的情况,肥沃的土壤也可能长满杂草,它们占用了丰富的资源,产生的只是一些恶果。“基因是自私的”,恶果变成恶霸,它使肥沃的土地,变成培育恶果的摇篮、腐败的温床。

在哈代写书的前后,世界发生了巨大的变化,其中最核心的观念变化是,科学是一种资源。政府、国家在当时冷战的环境一要占有这个资源,二要发展这个资源。哈代当时自由发展的时代一去不复返了。

前苏联在这场军备竞赛中一直占有上风。在发展了原子弹和氢弹以后,1957年发射了第一颗人造卫星,1961年4月12日,加加林成为第一位飞往太空的人。美国吓坏了,一方面大力发展空间技术,另一方面对体制进行了反思。许多科学家,特别是来自欧洲的科学家指出,美国基础科学研究和教育落后。从这时起,基础学科得到了大力发展,数学也搭上了这班快车。到20世纪70年代中期,每年的数学博士超过千人。美国开始有自己土生土长的大批数学家。而在这之前,在二次大战前后由各国,特别是由欧洲移民而来的数学家,如外尔、冯•诺伊曼、E. 诺特(E. Noether, 1882-1935)、库朗(R. Courant, 1888-1972)、乌兰姆(S. Ulam,1909---1984)、齐格蒙德(A. Zygmund,1900---1992)、西格尔(C. L. Siegel,1896---1981)、爱仑堡(S. Eilenberg, 1913---1998)、哥德尔、耐曼(J. Neyman,1894---1981)、费勒(W. Feller,1906---1970)、魏伊(A. Weil,1906---1998)、薛华荔(C. Chevalley,1909---1984)、阿廷(E. Artin,1898---1962)、布劳尔(R. Brauer,1901---1977)等等则把美国数学一下子提高到欧洲水平。所有这些人都绝对是世界一流的。顺便说一句,在这个提升美国数学水平的数学家中也有几位华裔,他们是陈省身、周炜良、樊畿、林家翘、钟开莱、王宪钟、王浩等。尽管70年代中期以后,美国每年培养的博士逐年减少,而且其中一半左右不是美国人,但这些都不妨碍美国数学在全球的重要地位。美国对外籍人并非天堂,但它具有体制上的优势,有能力有成果的数学家有较好的条件去自由地研究他所感兴趣的题目,不管是纯粹数学还是应用数学。苏联解体后,大批前苏联一流数学家到美国工作,加上欧洲数学家经常访美,这使得美国数学始终维持在高水平上。

前苏联的情况和美国完全不同,党、政府、意识形态部门对于科学有决定性的控制作用。科学发展面向军事和工程技术,基础科学取决于联系实际的密切程度。在苏联存续的75年间共有8人获得诺贝尔奖,7位物理学家,1位化学家。苏联的生物科学由于李森科的破坏,至今仍是乏善可陈。总结苏联的科学,的确教训多多,自然科学没有一门是世界一流,惟独数学是个例外。苏联的数学绝对是世界一流,今天的俄罗斯仍然很强,当今数学最主要的未解决难题可望由俄罗斯数学家取得突破。究其原因,数学不是自然科学,一张纸,一支笔,无论什么环境,哪怕是在监狱里,也都能做研究。法国大数学家魏伊和勒瑞(J. Leray,1906---1998)都进过监狱或战俘营,他们在那里仍然研究数学。不过,能在这种恶劣的环境下坚持下来显然不容易,这就回到哈代在书中提出的问题:研究数学的动机是什么?

“有许多相当高尚的动机引导人们去从事某项研究,但有三点比别的更重要。首先(没有这一点其余的都没用)是智力上的好奇心,希望探求真理,其次是职业上的自豪感,……最后是雄心壮志,希望得到名誉和社会地位甚至权力和金钱。”[Hardy, 1985, VII]

哈代不是书呆子,他洞悉人的欲望。许多人搞科学,具体说搞数学,目的就是为了权力和金钱,也的确有人得逞,特别是体制不健全的地方。这些人有了权力,不但搞不好数学,反而制造各种麻烦,让想干事的人干不下去。说到底,他们对数学根本不感兴趣。这样,其后果可想而知。

苏联的数学没有变成重灾区原因很多。但有几点值得注意。苏联的领头的数学家,约有几十位具有国际声誉,他们对数学本身比较热爱,当成事业来搞,对数学发展也比较重视。其中一些人还保护一些为社会排斥的数学家,如持不同政见者、犹太人、曾经当过战俘的人等等。典型的例子有莫斯科大学校长彼得洛夫斯基院士保护持不同政见者沙法列维奇。由维诺葛拉陀夫当了几十年所长的数学研究所门槛很高,但还有其他的研究所可进。苏联三位菲尔兹奖获奖者就分别来自数学物理研究所、通讯研究所和低温物理研究所。总的来说,尽管官方数学家受到种种限制,但很少有不学无术之辈滥用权力一手遮天的现象。20世纪30年代中期以后,苏联基本中断了同国际上的联系,但它仍有雄厚的基础独立发展。战后虽然像拓扑学等新兴学科被停掉,但仍然关心国际上的动态。从1953年起,他们继德国的《数学文摘》和美国的《数学评论》之后,出版了自己的《数学文摘》,成为苏联数学家了解世界数学趋势的窗口。他们发现,虽然他们在哈代所说的诸学科中大都处于领先地位,但是,在战后兴起的新学科中,特别是代数拓扑学和代数几何学中,他们完全处于落后状态。鉴于同调代数方法的广泛应用导致他们在许多领域落后,苏联有识之士从50年代中出版了翻译期刊《数学》,选择国外最新、最重要的论文,翻成俄文,以飨苏联的读者。这样,一些年轻的数学家有机会发挥自己才能,保持与世界同步。

还有,苏联正如许多先进数学大国一样,把数学普及到群众中尤其是青少年当中去。首先是培养兴趣,其次是培养事业心。许多人是从夏令营中听到柯尔莫哥洛夫这样的大院士深入浅出的启发性报告,而立志走向数学的。这种训练是为了理解数学,而不是题海战术的牺牲品。

因此,尽管有种种不利因素,苏联数学发展究竟走上了一条健康的道路,一代一代绵延不绝、人丁兴旺。

四 数学是什么?

虽然哈代的关于纯粹数学与应用数学的区别不幸为残酷的现实打破,但是,他有一个核心的论点却有着隽永的意味,值得我们推敲一下。

哈代一开篇就感到,一位数学家谈“关于数学”的事是可悲的。而既要谈“关于数学”的事,自然就要回答“数学是什么”。

如果把这个问题换成“物理学是什么”、“化学是什么”、“天文学是什么”,科学家的答案可能稍有差异,但八九不离十。惟独以定义严密著称的数学家,对这个涉及本行的问题却难以回答,至少数学家的回答五花八门、莫衷一是。这也许是哈代觉得谈“关于数学”没啥意思的道理。在第一节中,他特别强调,“数学家的职责是实干,证明新的定理,扩展数学知识”,而“解释、批评、鉴赏是二等活儿。”[Hardy, 1985, I]甚至劝说英国一位诗人说,诗人一等,文学批评家二等。如果你证明了定理,那你不必费心对“数学是什么”说三道四。

不过,哈代还是干了二等活儿。他要为自己的纯粹数学辩护,为自己是纯粹数学家感到自豪,就必须这么干。不过,他没正面为数学下定义,而是搞了一个类比。

“数学家跟画家或诗人一样,也是形式的创造者。”[Hardy, 1985, X]

画家用形与色创造形式,诗人用语言创造形式,而数学家用概念创造形式。他说,因此数学比别的更能经受时间的考验。

这样,他为数学下了一个潜在的定义:
“数学是形式的科学”。

但这话不是他说的,而是我说的。说到底,他把数学说成是艺术,而不是科学。他说“数学家创造形式与画家或诗人创造形式一样,必须美。概念也像色彩或语言一样,必须安排配置得和谐。”[Hardy, 1985, X]“美是首要的标准,不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的。”[Hardy, 1985, X]这话听起来不错,可是,谁能够欣赏数学的美呢?

在这个问题上,哈代有了对立面。谁都可以说,数学多美啊,某某定理多漂亮啊。这些话实际上是无聊的废话,没什么意思。审美是相当主观的东西,谁都可以说一幅画美或一首诗美,但他所指的美到底是什么,是否同别人体会的一样,恐怕连自己也说不清。至于数学那就更玄了。一个人要是不懂他所说的数学,他怎么能说数学美呢?实际上,除了哈代所说的平凡的、无聊的数学之外,谁能像哈代懂得那么多当时的数学呢?从现在看,哈代懂得的数学也少得可怜。真正漂亮的数学还在后面呢!

因此,他所批判的怀特海和霍格本(L. Hogben, 1895-1975)或许更接近事实。怀特海认为只有极少数“数学狂”式的怪人才能欣赏数学的美。霍格本也认为数学美的魅力只对极少数人是实实在在的。但是哈代却讲出一段妙语:

“现在也许难以找到一个受教育的人对数学美的魅力全然无动于衷。数学的美可能很难定义,但它难道不是和其他美完全一样的完满的美吗?什么是一首美丽的诗,我们可能并不知道,但这并不妨碍我们读诗时欣赏它。”[Hardy, 1985, X]

后来他又说,“大多数人都欣赏一点数学,正如大多数人能欣赏令人愉快的曲调一样。对数学真有兴趣的人很可能比对音乐有兴趣的人要多。表面看来可能与此相反,但很容易解释。”他的解释妙极了,“音乐上缺乏才能是不太体面的事(而这无疑是正确的),而大多数人一听到数学就害怕,所以他们随时都会由衷地强调自己在数学上不高明。”[Hardy, 1985, X]

我写到这里的确真感到这位世界一流的大数学家在干二等活时是多么不在行。出于对这位大师的尊重,我真不敢说他“逻辑混乱”。大多数人能欣赏的数学,难道不正是哈代所说的无聊乏味的数学,哪里还有什么美可言呢?即便以最简单的欧氏几何而言,哈代所说的美的部分——平行公里或正五边形作图,有多少人能欣赏它胜过听小曲呢?

尽管如此,哈代把数学与艺术进行对比有它本质上的合理性。问题是要分清其中的层次。艺术有高雅艺术与通俗艺术之分,数学同样有高雅与通俗之别。越是高雅的艺术,能欣赏的人就越少,创造它也就更需要非凡的才能。数学的情形完全类似。老实说,高雅的东西不是为了寻常百姓预备的,它属于“精神贵族”。哈代没有选好比较的对象,把数学比作画和诗并不合适,而把数学比作音乐则比较恰当。只可惜,他把音乐说成是民间小调,这就混淆了高雅与通俗。现代的数学就好像大型的交响乐,没有音乐素养是根本听不懂甚至听不下去的。有名的交响乐中最长的要属马勒第八交响曲(千人交响曲),长达90 — 100分钟。有人只是附庸风雅去听,还不是活受罪!现代数学学科众多,那一门也不是100分钟就能学会的,100小时能咋出来点味来已属不错,根本谈不上欣赏它的美,更谈不上创造。最多像媒体一样,知道了名词,什么拓扑学啦,用来炒作、吓唬老百姓。这种名词在数学中成千上万,说上十个自己也晕头转向。其实隔行的数学家也分不清同调和同伦,酉群和辛群,可那又有什么关系呢?一个人如果有艺术品位的话,他可以走遍全世界的博物馆,听遍所有高雅音乐的唱片,但是,他大概不可能学会全部数学,更谈不上欣赏它们的美。人不是上帝,他不能全知全能,更不能与时俱进。与上帝比起来,人缺少智力,更缺少时间。有人说,我们的智力并没有进化,我们并不比孔老夫子聪明,这话有理。小学生、中学生、大学生学数学并没有显著地加速。100年来,99%的人学不会300年前的微积分。要是学不会微积分,那微分方程和变分法就免谈。这就是数学与自然科学不同之处。前不久的事,如克隆、干细胞、互联网、DVD等等一学就会。唯独数学,完全得从头来,一步一步来。没有一门课像数学这样让人费力不讨好。哈代告诉我们,学好数学多少得有点兴趣,还得动点脑筋,否则苦不堪言,哪还有心情欣赏它的美呢?

不过,要是你真正喜欢上数学,迷上了数学,甚至对数学的美非常欣赏的话,那就好了,哈代可以带你走进纯粹数学的世外桃源。遗憾的是,对于绝大多数人来说,这不过是水中月,镜中花。

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